小度图中时序顶点覆盖的复杂性

时序图自然地建模了底层拓扑随时间变化的图。近来，问题 TEMPORAL VERTEX COVER（或 TVC）与 SLIDING-WINDOW TEMPORAL VERTEX COVER（或固定长度 $\Delta$ 的时间窗口下的 $\Delta$-TVC）已被确立为静态图上经典问题 VERTEX COVER 的自然扩展，并与传感器网络监控等领域相关。在本文中，我们启动了对稀疏图上 TVC 与 $\Delta$-TVC 复杂性的系统研究。我们的主要结果表明，对每个 $\Delta\geq 2$，$\Delta$-TVC 即使在底层拓扑由一条路径或一个圈描述时也是 NP-hard 的。这解决了文献中的一个开放问题，并展示了 $\Delta$-TVC 与 TVC 之间的惊人对比——对于后者我们在同一设定下提供了多项式时间算法。为规避该困难性，我们提出了一系列精确与近似算法，适用于底层拓扑由路径给出、在每个时间步具有有界顶点度、或容许小规模时序顶点覆盖的时序图。