时态DAG路径覆盖的算法与复杂性：Dilworth何时是动态的？

在本文中，我们研究了路径覆盖问题的动态类似物，该问题在有向无环图中可在多项式时间内求解。时态有向图具有在离散时间步上变化的弧集，如果底层有向图（所有弧集的并集）是无环的，则我们得到一个时态DAG。时态路径是底层有向图中的一条有向路径，使得弧的时间步沿路径严格递增。如果两条时态路径在任何时间都不占据相同的顶点，则它们是时间不相交的。时态（分别地，时间不相交）路径覆盖是覆盖所有顶点的（分别地，时间不相交的）时态路径的集合。在本文中，我们研究了寻找具有最小基数的时态（不相交）路径覆盖问题的计算复杂性，分别记为时态路径覆盖（TPC）和时间不相交路径覆盖（TD-PC）。我们证明了即使当底层DAG是平面的、二部的、次三次的，且只有两个弧不相交的时间步时，这两个问题也是NP困难的。此外，TD-PC在时态定向树上仍然是NP困难的。相比之下，我们证明了TPC在时态定向树上可通过归约到（静态无向）弱弦图的团覆盖问题（完美图的一个子类，团覆盖对该类图存在高效算法）在多项式时间内求解。这突出了这两个问题之间有趣的算法差异。尽管在时态定向树上是NP困难的，TD-PC在时态定向线和时态根有向树上变为多项式时间可解。我们还证明了TPC（分别地，TD-PC）具有关于参数$tmax + tw$的XP（分别地，FPT）时间算法，其中$tmax$是最大时间步，$tw$是底层静态无向图的树宽。