基于最快行程时间的时序图实现

在本文中，我们针对顶点间最快路径时长，发起对时序图实现问题的研究，同时聚焦于周期性时序图。给定一个 $n \times n$ 矩阵 $D$ 和一个 $\Delta \in \mathbb{N}$，目标是构造一个具有 $n$ 个顶点的 $\Delta$-周期时序图，使得从 $v_i$ 到 $v_j$ 的最快路径时长等于 $D_{i,j}$，或者判定这样的时序图不存在。该问题在静态图上的变体自 1960 年代以来已被充分研究并理解（例如 [Erd\H{o}s and Gallai, 1960]、[Hakimi and Yau, 1965]）。结果表明，周期性时序图实现问题的计算复杂度行为与其静态（即非时序）对应问题非常不同。首先，我们证明该问题在一般情形下是 NP-hard 的，但如果所谓的底层图是一棵树则是多项式时间可解的。基于这些结果，我们研究了其相对于底层静态图的度量“类树性”的结构参数的参数化计算复杂度。我们证明了允许固定参数可处理性（FPT）的参数与蕴含 W[1]-hardness 的参数之间的严格分类。我们表明，当以底层图的反馈顶点数（以及因此任何更小的参数，如树宽、退化数和团宽）作为参数时，我们的问题是 W[1]-hard 的，而当我们以底层图的反馈边数（以及因此任何更大的参数，如最大叶数）作为参数时，它属于 FPT。