关于时间不相交路径的可近似性

我们引入组合优化问题时间不相交路径(TDW)，该问题在离散对象（例如自动驾驶车辆）于网络上的无碰撞路由中有应用。该问题输入为一个具有正整数弧长的有向图 $G$，以及 $k$ 个顶点对，每对表示一个从源到目的地的行程需求。目标是为每个需求找到一条路径与延迟，使得任意两个行程不在同一时间占据同一顶点，并实现关于行程时长的一个极小极大或极小和目的。我们此处聚焦于时间不相交路径的极小和变体，尽管我们多数结果也适用于极小极大情形。我们将研究限制于有向无环图(DAG)的若干子类，并观察到时间不相交路径在定向星图与将中心顶点替换为一条路径的定向星图之间存在尖锐的复杂性边界。具体而言，我们对前者上的极小和与极小极大 TDW 给出多项式时间算法，但证明后者上的极小和 TDW 是 NP 难的。我们的主要硬度结论是：对于最大度 $\Delta\leq3$ 的 DAG，极小和时间不相交路径是 APX-hard 的。我们针对同一类给出一种自然近似算法，并提供紧分析。特别地，我们证明它在有界度 DAG 上达到 $\Theta(k/\log k)$ 的近似比，在 DAG 与有界度有向图上达到 $\Theta(k)$ 的近似比。