强次二次时间下的动态时间规整：低距离区间算法与近似计算

动态时间规整距离（DTW）是时间序列间广泛使用的距离度量。已知最好的 DTW 计算算法运行于近二次时间，且条件下界排除了显著更快算法的存在。不过，当下界并不妨碍针对 DTW 较小这一特殊情况存在更快算法。对于任意度量空间 $\Sigma$，将其距离归一化使得最小非零距离为 1，我们提出一种算法，可在时间 $O(n \cdot \operatorname{dtw}(x, y))$ 内计算两串 $x$ 和 $y$（基于 $\Sigma$）的 $\operatorname{dtw}(x, y)$。我们还提出一种近似算法，在 $0 < \epsilon < 1$ 时于时间 $\tilde{O}(n^{2 - \epsilon})$ 内以 $O(n^\epsilon)$ 的因子计算 $\operatorname{dtw}(x, y)$。该算法允许字符串 $x$ 和 $y$ 取自任意良分离、对数深度且纵横比至多为指数的树度量。进一步扩展我们的技术，我们还获得了首个编辑距离近似算法，可处理取自任意度量空间的字符，以高概率在时间 $\tilde{O}(n^{2 - \epsilon})$ 内提供 $n^\epsilon$-近似。此外，我们提出一种从计算编辑距离到计算 DTW 的简单归约。将我们的归约应用于 Bringmann 和 K"unnemann 关于 $\{0, 1\}$ 上编辑距离的条件下界，我们得到了三字母表（距离为 0 和 1）上计算 DTW 的条件下界，这改进了 Abboud、Backurs 和 Williams 的先前结果。通过类似方法，我们证明了从计算编辑距离到计算最长 LCS 长度的归约。这意味着可直接从编辑距离的条件下界恢复 LCS 的条件下界，而此前认为并非如此。