有界退化图上的部分顶点覆盖

在部分顶点覆盖（PVC）问题中，给定一个 $n$ 顶点图 $G$ 和一个正整数 $k$，目标是找到一个大小为 $k$ 的顶点子集 $S$，使得至少有一个端点在 $S$ 中的边数最大化。该问题在一般图上是 W[1]-困难的，但在平面图和 apex-子式自由图上存在一个参数化亚指数时间算法，运行时间为 $2^{O(\sqrt{k})}n^{O(1)}$ [Fomin 等人（FSTTCS 2009, IPL 2011)]，在有界退化图上存在一个 $k^{O(k)}n^{O(1)}$ 时间算法 [Amini 等人（FSTTCS 2009, JCSS 2011)]。有界退化图包含许多稀疏图类，如平面图、$H$-子式自由图和有界树宽图。在这项工作中，我们证明了以下结果：1) 在有界退化图上存在一个运行时间为 $2^{O(k)}n^{O(1)}$ 的 PVC 算法，这改进了 Amini 等人之前的 $k^{O(k)}n^{O(1)}$ 时间算法。2) PVC 在有界退化图上允许一个多项式压缩，解决了 Amini 等人提出的一个开放问题。