容载型分区顶点覆盖和分区边缘覆盖

我们的第一个关注点是超图中的容载型分区顶点覆盖 (C-PVC) 问题。在 C-PVC 中，我们给定一个具有顶点容量的超图，并将 hyperedge 集合划分为 $\omega$ 个互不相同的组。目标是选择最小大小的顶点子集，满足两个主要条件：(1) 在每个组中，被覆盖的 hyperedge 总数满足指定阈值，和 (2) 分配给任何顶点的 hyperedge 数量遵守其容量约束。被覆盖的 hyperedge 必须分配给属于该 hyperedge 的已选顶点。该 formulation 推广了经典顶点覆盖、部分顶点覆盖和分区顶点覆盖。我们研究两种主要变体：软容载 (允许多个顶点副本) 和硬容载 (每个顶点最多选择一次)。设 $f$ 表示超图的秩。我们的主要贡献包括：$(i)$ 对加权软容载 C-PVC 问题提出 $(f+1)$-近似算法，运行时间为 $n^{O(\omega)}$，和 $(ii)$ 对未加权硬容载 C-PVC 问题提出 $(f+\epsilon)$-近似算法，运行时间为 $n^{O(\omega/\epsilon)}$。我们还研究了自然的边缘覆盖问题的推广，weighted partition edge cover (W-PEC) 问题，其中每条边都有相关联权重，且顶点集合被划分为组。对于每个组，目标是使用 incident edges 覆盖至少指定数量的顶点，同时最小化所选边的总权重。我们提出了第一个 exact 多项式时间算法 for weighted 情况，将运行时间从 $O(\omega n^3)$ 简化为 $O(mn+n^2 \log n)$。