路径顶点覆盖问题的再优化

大多数优化问题都是出了名的困难。为了获得我们在现实场景中遇到的某些实例的最优解，必须付出大量努力。通常情况是，由于应用世界的变化，输入实例在局部以某些微小方式被修改。此处自然的问题是，给定旧实例 $I_O$ 的一个最优解，我们能否为新实例 $I_N$ 构造一个最优解，其中 $I_N$ 是经过了某些局部修改的实例 $I_O$。NP 难优化问题的再优化正是解决这一关切。结果表明，对于某些 NP 难问题的再优化版本，我们可能只能希望获得新实例的近似解。在本文中，我们具体研究路径顶点覆盖问题的再优化。$k$-$path$ 顶点覆盖问题的目标是计算图 $G$ 中顶点的最小子集 $S$，使得从 $G$ 中移除 $S$ 后图中不存在含 $k$ 个顶点的路径。我们证明，当插入常数个顶点时，再优化无权 $k$-$path$ 顶点覆盖问题允许一个 PTAS。对于带权 $3$-$path$ 顶点覆盖问题，我们证明当插入常数个顶点时，再优化算法达到 $1.5$ 的近似因子，从而改进了优化版本已知的 $2$-近似算法。我们给出了带权 $k$-$path$ 顶点覆盖问题 $(k \geq 4)$ 在有限度图中的再优化算法，该问题也是 NP 难的。给定有限度图上 $k$-$path$ 顶点覆盖问题的一个 $\rho$-近似算法，我们证明在常数个顶点插入下它可被再优化到 $(2-\frac{1}{\rho})$ 的近似因子内。