目标集重配置的紧密不可近似性

给定一个具有顶点阈值函数 $\tau$ 的图 $G$，考虑一个动态过程：当任意非活跃顶点 $v$ 的至少 $\tau(v)$ 个邻居被激活时，该顶点 $v$ 变为激活状态。如果初始激活集合 $S$ 中的顶点会导致 $G$ 的所有顶点被激活，则称顶点集 $S$ 为目标集。在 Minmax 目标集重配置问题中，对于图 $G$ 及其两个目标集 $X$ 和 $Y$，我们希望仅使用 $G$ 的目标集，通过反复添加或移除单个顶点将 $X$ 转换为 $Y$，同时最小化任何中间目标集的最大规模。我们证明，在 $2-o\left(\frac{1}{\operatorname{polylog} n}\right)$ 的因子内近似 Minmax 目标集重配置问题是 NP-hard 的，其中 $n$ 为顶点数。我们的结果建立了 Minmax 目标集重配置问题可近似性的紧密下界，该问题存在一个 2-因子近似算法。证明基于从目标集选择问题到 Minmax 目标集重配置问题的保间隙归约，前者的近似 NP-hardness 已由 Chen (SIAM J. Discrete Math., 2009) 以及 Charikar, Naamad, 和 Wirth (APPROX/RANDOM 2016) 证明。