蜂窝网络的目标集选择问题

设 $G$ 为一个图，其阈值函数为 $\theta:V(G)\rightarrow \mathbb{N}$，使得对于 $G$ 的每个顶点 $v$，满足 $1\leq \theta(v)\leq d_G(v)$，其中 $d_G(v)$ 是 $v$ 在 $G$ 中的度。假设给定一个目标集 $S\subseteq V(G)$。本文考虑在 $G$ 上进行的以下重复过程：在时间步 0，$S$ 中的顶点被染成黑色，其余顶点被染成白色。此后，在每个时间步 $t>0$，白色顶点（如果存在）的颜色根据以下规则更新：所有在时间步 $t-1$ 拥有至少 $\theta(v)$ 个黑色邻居的白色顶点 $v$ 被染成黑色，其余顶点的颜色保持不变。该过程运行直到没有更多的白色顶点可以从白色更新为黑色。以下优化问题被称为目标集选择（Target Set Selection）：寻找一个尽可能小的目标集 $S$，使得过程结束时 $G$ 中的所有顶点均为黑色。这样的 $S$ 被称为 $G$ 在阈值函数 $\theta$ 下的{\em 最优目标集}。我们感兴趣的是在一种重要的阈值函数（称为{\em 严格多数阈值}，即对于 $G$ 中的每个顶点 $v$，$\theta(v)=\lceil (d_G(v)+1)/2\rceil$）下，寻找著名的一类蜂窝网络（honeycomb networks）的最优目标集。在图 $G$ 中，{\em 反馈顶点集}（feedback vertex set）是一个子集 $S\subseteq V(G)$，使得由 $V(G)\setminus S$ 诱导的子图是无环的。在本文中，我们给出了在严格多数阈值下各类蜂窝网络最优目标集大小的精确值，并且作为副产品，我们还为蜂窝网络类中不同类型的正则图提供了最小反馈顶点集。