循环排列图、广义Petersen图与Torus Cordalis上的目标集选择问题

在本文中，我们考虑病毒式营销领域的一个基本问题，称为目标集选择（TARGET SET SELECTION）问题。在病毒式营销场景中，社交网络被建模为图，其中新产品的潜在客户作为顶点，朋友关系作为边，每个顶点 $v$ 被赋予一个阈值 $\theta(v)$。阈值代表了客户（顶点）在其朋友（邻居）购买新产品时购买该产品的不同潜在倾向。考虑社交网络 $(G,\theta)$ 上的一个重复过程，其中每个顶点 $v$ 关联两种状态：活跃和非活跃，表示 $v$ 是否被说服购买新产品。假设给定一个目标集 $S\subseteq V(G)$。初始时，$G$ 中所有顶点均为非活跃。在时间步0，我们选择 $S$ 中的所有顶点变为活跃。然后，在每个时间步 $t>0$，在时间步 $t-1$ 中活跃的所有顶点保持活跃，并且如果顶点 $v$ 的至少 $\theta(v)$ 个邻居在时间步 $t-1$ 时是活跃的，我们就激活顶点 $v$。当没有更多顶点可以被激活时，激活过程终止。我们关注以下优化问题，称为目标集选择：寻找一个尽可能小且能激活 $G$ 中所有顶点的目标集 $S$。存在一个重要且被广泛研究的阈值称为严格多数阈值，其中对于 $G$ 中的每个顶点 $v$，有 $\theta(v)=\lceil{(d(v) +1)/2}\rceil$，$d(v)$ 为 $v$ 在 $G$ 中的度。在本文中，我们考虑严格多数阈值下的目标集选择问题，并聚焦于三种流行的正则网络结构：循环排列图、广义Petersen图和Torus Cordalis。