保守群体中的目标集选择

设 $G = (V,E)$ 为具有 $n$ 个顶点的图，其中 $d_v$ 表示顶点 $v$ 的度，$t_v$ 是与 $v$ 关联的阈值。我们考虑一个过程：初始时顶点集 $S$ 变为活跃，此后在离散时间步中，每个至少有 $t_v$ 个活跃邻居的顶点 $v$ 也变为活跃。若最终所有 $V$ 都变为活跃，则集合 $S$ 是传染的。目标集选择问题 TSS 询问最小的传染集。TSS 是 NP 难的，而且 notoriously 难以近似。在 TSS 的保守特例中，对每个 $v \in V$ 有 $t_v > \frac{1}{2}d_v$。在此特例中，TSS 可在 $O(\Delta)$ 的比值内近似，其中 $\Delta = \max_{v \in V}[d_v]$。在本文中，我们引入了一类更一般的 TSS 实例，称之为平均保守（CoA），满足 $\sum_{v\in V} t_v > \frac{1}{2}\sum_{v \in V} d_v$。我们为 CoA 的某些子类设计了近似算法。例如，若对每个 $v \in V$ 有 $t_v \geq \frac{1}{2}d_v$，我们可在多项式时间内找到大小为 $\tilde{O}\left(\Delta \cdot OPT^2 \right)$ 的传染集，其中 $OPT$ 是 $G$ 中最小传染集的大小。我们还提供了若干不可近似性结果。例如，假设唯一博弈猜想，我们证明在 $\Delta \le 3$ 的 CoA 实例上 TSS 无法在任意常数因子内近似。我们还给出了关于 CoA TSS 实例的固定参数可处理性的结果，以及关于相关问题（带部分激励的 TSS）的近似算法。