具有最大激活时间的靶集选择

靶集选择模型是一个图 $G$ 带一个上界为顶点度的阈值函数 $\tau:V\to \mathbb{N}$。对于给定的模型，一个集合 $S_0\subseteq V(G)$ 是靶集，如果 $V(G)$ 能被划分为非空子集 $S_0,S_1,\dotsc,S_t$，使得对于 $i \in \{1, \ldots, t\}$，$S_i$ 恰好包含每一个在 $S_0\cup\dots\cup S_{i-1}$ 中至少有 $\tau(v)$ 个邻居的顶点 $v$。我们称 $t$ 为靶集 $S_0$ 的激活时间 $t_{\tau}(S_0)$。给定此类模型，寻找最小规模靶集的问题已在文献中被广泛研究。在本文中，我们研究其变体，称之为 TSS-time，其目标是寻找一个最大化 $t_{\tau}(S_0)$ 的靶集 $S_0$。即，给定图 $G$、其上的阈值函数 $\tau$ 和整数 $k$，TSS-time 问题的目标是判定 $G$ 是否包含一个满足 $t_{\tau}(S_0)\geq k$ 的靶集 $S_0$。令 $\tau^* = \max_{v \in V(G)} \tau(v)$。我们的主要结果关于当 $G$ 属于闭 minor 图类 ${\cal C}$ 时 TSS-time 复杂性的如下二分法：若 ${\cal C}$ 具有有界局部树宽，则该问题以 $k$ 和 $\tau^{\star}$ 为参数属于 FPT；否则，即使固定 $k=4$ 和 $\tau^{\star}=2$ 它也是 NP-完全的。我们还证明了，当 $\tau^*=2$ 时，该问题在二部图中对于固定 $k=5$ 是 NP-难的，并且由先前结果我们观察到 TSS-time 在平面图中是 NP-难的，且以树宽为参数是 W[1]-难的。最后，我们给出一个线性时间算法，用于在给定树中寻找最大化 $t_{\tau}(S_0)$ 的靶集 $S_0$。