环形网格上的多色动力系统

在图上检测能够“激活”图中指定数量顶点的最小节点数（目标集）的问题，称为目标集选择问题（TSS），由Kempe、Kleinberg和Tardos提出。在TSS的设置中，节点有两种可能状态（激活或非激活），触发节点激活的阈值由其活跃邻居的数量决定。在处理基于多数系统的容错时，两种可能状态用于表示故障或非故障节点，阈值由多数邻居的状态决定。这里的主要工作是确定导致整个系统进入故障状态的初始故障分布。这种激活模式，也称为动态垄断（或简称动力系统），由Peleg于1996年引入。在本文中，我们通过用“多色”集合表示节点状态来扩展TSS问题的设置。该问题的扩展版本可描述如下：设 $G$ 是一个简单连通图，其中每个节点被赋予来自有限有序颜色集 $C = \{1, \ldots, k\}$ 的一种颜色。在每个局部时间步，每个节点可以根据局部配置，用其多数邻居持有的颜色重新着色。给定 $G$，我们研究在环形网格中导致系统达到 $k$ 单色配置的初始颜色分布，重点关注最小初始 $k$ 色节点数。我们找到了动力系统规模的上界和下界，然后通过一种基于重新着色模式的新方法，刻画了动力系统的特殊类别。