带传播的支配集问题的近似算法与硬度

电力支配集 (PDS) 问题是著名的支配集问题的如下扩展：寻找一个最小规模的节点集合 $S$，使其能电力支配所有节点，其中节点 $v$ 被电力支配的条件是：(1) $v$ 在 $S$ 中，或 $v$ 在 $S$ 中有一个邻居；或 (2) $v$ 有一个邻居 $w$，使得 $w$ 及其除 $v$ 外的所有邻居均已被电力支配。我们证明了其近似硬度阈值为 $2^{\log^{1-\epsilon}{n}}$，这与支配集问题的对数硬度形成对比。我们给出了平面图的 $O(\sqrt{n})$ 近似算法，并表明我们的方法无法改进此近似保证。最后，我们启动了有向图上 PDS 的研究，并证明了有向无环图具有相同的 $2^{\log^{1-\epsilon}{n}}$ 硬度阈值。此外，我们表明如果底层无向图具有有界树宽，则有向 PDS 问题可以在线性时间内最优求解。