三元组重构及所有其他系统发生CSP均为抗近似的

我们研究自然的三元组重构问题（亦称有根三元组一致性或三元组聚类），其最初源于计算生物学与关系数据库（Aho, Sagiv, Szymanski, and Ullman, 1981）：给定$n$个点，我们希望将它们嵌入到一棵有根二叉树的$n$个叶上（一种层次聚类或超度量嵌入），使得给定的一组$m$个三元组约束被满足。三元组$ij|k$表示“$i,j$彼此的亲缘关系比与$k$更近”，若$d(i,j)$在三个距离中最小则树满足$ij|k$。Aho等人（1981）给出了一种优雅的高效算法以找到尊重所有约束的树（若存在），且易见随机二叉树是一个1/3近似。遗憾的是，尽管四十余年研究，已知无更好近似。我们的主定理——将三元组重构作为特例涵盖——是关于无限域上约束满足问题（CSP）（变量被映射到树的任意$n$个叶）的一个一般近似困难性结果。具体而言，我们在唯一博弈（Khot, 2002）假设下证明：三元组重构，更一般地，每个层次结构上的CSP均为抗近似的（不存在渐近优于有偏随机赋值的多项式时间算法）。这为许多有趣子树或超树聚合问题解决了可近似性。更广泛地，我们的结果显著扩展了抗近似谓词的列表，并推广了Guruswami, Hastad, Manokaran, Raghavendra, and Charikar（2011）关于序CSP抗近似的结果。我们分析中的主要挑战源于树具有拓扑结构，而正是拓扑决定了叶上给定三元组约束是否被满足。