最短重置词的强不可近似性

\v{C}ern\'y 猜想指出，每个$n$态同步自动机都有一个长度至多为$(n-1)^2$的重置词。我们研究了寻找短重置词的困难性。已知该问题的精确版本（即寻找最短重置词）是 NP-hard 和 coNP-hard 的，且对 DP 类完备；而在二元字母表下，在$O(\log n)$因子内近似最短重置词的长度也是 NP-hard 的 [Gerbush 和 Heeringa, CIAA'10; Berlinkov, DLT'13]。我们显著改进了这些结果，证明对于任意$\epsilon>0$，在$n^{1-\epsilon}$因子内近似最短重置词的长度是 NP-hard 的。由于存在简单的$O(n)$近似算法，这一结果本质上是紧的。