改进最短复位词长度的上界

我们改进了同步自动机最短复位词长度的最佳已知上界。新上界略优于 $114 n^3 / 685 + O(n^2)$。Černý 猜想指出 $(n-1)^2$ 是一个上界。迄今为止，最好的通用上界是由 J.-E. Pin 和 P. Frankl 在 1982 年得到的 $(n^3-n)/6-1$。尽管已有诸多努力，该上界约 35 年未变。为获得新上界，我们利用了避免词。若自动机读完一个词后不可能处于状态 $q$，则该词对于状态 $q$ 是避免的。我们得到了最短避免词长度的上界，并结合 Trahtman 2011 年的方法与著名的 1982 年 Frankl 定理，改进了最短复位词长度的通用上界。对于所有这些上界，都存在多项式算法能找到长度不超过该上界的词。