非阿贝尔群上可满足 $k$-LIN 的最优不可近似性

Håstad [J. ACM, 48(4):798--859, 2001] 的一项开创性结果表明，对于任意常数 $\varepsilon>0$，即使存在一个满足 $(1-\varepsilon)$ 比例约束的赋值，在阿贝尔群上给定一个 $k$-LIN 实例，找到满足其 $\frac{1}{|G|}+\varepsilon$ 比例约束的赋值是 NP 难的。Engebretsen 等人 [Theoretical Computer Science, 312(1):17--45, 2004] 后来证明了同样的困难性结果对任一有限非阿贝尔群上的 $k$-LIN 实例也成立。与阿贝尔情形不同——在阿贝尔情形下，若实例可满足则可高效找到解——在非阿贝尔情形下，如 Goldmann 和 Russell [Information and Computation, 178(1):253--262. 2002] 所示，判定给定线性方程组是否可满足是 NP 完全的。令人惊讶的是，对于某些非阿贝尔群 $G$，给定一个 $G$ 上的可满足 $k$-LIN 实例，事实上可以使用一个简单而巧妙的算法取得比仅输出随机赋值更好的结果。该算法达到的近似因子随底层群而变化。在本文中，我们通过证明在假设 $P \neq NP$ 下，对{\em 任意}非阿贝尔群 $G$ 上可满足 $k$-LIN 实例的紧近似困难性，表明该算法是{\em 最优的}。作为推论，我们还得到了大字母表上具有改进可靠性的、具有完美完备性的 $3$-查询概率可检验证明。