$k\ge 2$ 时 $\mathbb{Z}_p^n$ 和 $\hat{\mathbb{Z}}^n$ 中不存在 $(n,k)$-Besicovitch 集

Manik Dhar

$k\ge 2$ 时 $\mathbb{Z}_p^n$ 和 $\hat{\mathbb{Z}}^n$ 中不存在 $(n,k)$-Besicovitch 集

经典分析与常微分方程 2023-12-06 v1 组合数学

作者: Manik Dhar

摘要

Besicovitch 证明了 $\mathbb{R}^n$ 中在每个方向上都包含一条单位线段的紧致集的测度可以为 $0$ 。这些构造在其他度量空间（如 $p$ -进数和 profinite 整数）上也同样适用。有猜想认为，在 $\mathbb{R}^n$ 中不可能构造出在每个方向上都包含单位 $2$ -圆盘且测度为 $0$ 的集合。我们证明了在 $p$ -进数和 profinite 整数上，任何在每个方向上都包含一个 2-flat 的集合都必须具有正测度。主要工具是 [Dha22] 中证明的 $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^n$ 的极大 Kakeza 估计以及对 Oberlin [Obe05] 的 Fourier 分析论证的改编。一般地，我们证明了与 $2$ -flats 对应的极大算子的 $L^{n-1}$ 到 $L^{n-1}$ 估计。

关键词

Besicovitch 集 p-进数 profinite 整数 Kakeya 估计极大算子 Fourier 分析

引用

@article{arxiv.2312.02495,
  title  = {$(n,k)$-Besicovitch sets do not exist in $\mathbb{Z}_p^n$ and $\hat{\mathbb{Z}}^n$ for $k\ge 2$},
  author = {Manik Dhar},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2312.02495},
  year   = {2023}
}

$k\ge 2$ 时 $\mathbb{Z}_p^n$ 和 $\hat{\mathbb{Z}}^n$ 中不存在 $(n,k)$-Besicovitch 集

摘要

关键词

引用

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