基于 Besicovitch 无密度倍数集构造的不规则 $\mathcal{B}$ 自由 Toeplitz 序列

通过修改 Besicovitch 关于正整数集 $\mathcal{B}$ 的构造（其倍数集 $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}$ 无渐近密度），我们给出此类集 $\mathcal{B}$ 的实例，使得 $\eta:=1_{\mathbb{Z}\setminus\mathcal{M}_{\mathcal{B}}}\in\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ 为 Toeplitz 序列。此外，我们的构造给出的实例中，$\eta$ 不仅关于 Mirsky 测度（具有离散动力学谱）是拟通用的，而且关于某个正熵测度也是拟通用的。另一方面，通过略微修改 Kasjan、Keller 和 Lemańczyk 的一个例子，我们构造了一个集 $\mathcal{B}$，使得 $\eta$ 是不规则 Toeplitz 序列，但 $\eta$ 在 $\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ 中的轨道闭包是唯一遍历的。