倍数集的紧致性及其在 $\mathcal B$-自由动力学中的应用

对任意集合 $\mathcal B\subseteq\mathbb N=\{1,2,\dots\}$,可定义其\emph{倍数集} $\mathcal M_{\mathcal B}:=\bigcup_{b\in\mathcal B}b\mathbb Z$ 以及\emph{$\mathcal B$-自由数}集 $\mathcal F_{\mathcal B}:=\mathbb Z\setminus\mathcal M_{\mathcal B}$。集合 $\mathcal B$ 的紧致性(tautness)是一项基本性质,与围绕 $\mathcal M_{\mathcal B}\subseteq\mathbb Z$ 渐近密度的问题相关。从动力系统观点(由 Sarnak 开创)出发,人们研究 $\eta$(即 $\mathcal F_{\mathcal B}\subseteq\mathbb Z$ 的指示函数)、其移位轨道闭包 $X_\eta\subseteq\{0,1\}^{\mathbb Z}$ 以及在 $X_\eta$ 上由 $\eta$ 中有限块的频次定义的平稳概率测度 $\nu_\eta$。本文证明紧致性蕴含 $\eta$ 的如下两个性质:(1) 测度 $\nu_\eta$ 在 $X_\eta$ 中具有满拓扑支撑。(2) 若 $X_\eta$ 是邻近的(proximal),即若单点集 $\{\dots000\dots\}$ 包含于 $X_\eta$ 且是 $X_\eta$ 的唯一极小子集,则 $X_\eta$ 是遗传的(hereditary),即若 $x\in X_\eta$ 且 $w$ 为 $\{0,1\}^{\mathbb Z}$ 中任意元素,则坐标乘积 $w\cdot x$ 也属于 $X_\eta$。这加强了 [Bartnicka et al. 2015] 中的两个结果,该文为相同结论需要 $\mathcal B$ 具有轻尾(light tails)的更强假设。