关于mathscr{B}-自由集与自然密度的存在性

给定 $\mathscr{B}\subseteq\mathbb{N}$，令 $\mathcal{M}_\mathscr{B}=\bigcup_{b\in\mathscr{B}}b\mathbb{Z}$ 为对应的倍数集。我们称 $\mathscr{B}$ 是 taut 的，若从 $\mathscr{B}$ 中移除任意元素后，$\mathcal{M}_\mathscr{B}$ 的对数密度减小。我们称 $\mathscr{B}$ 是极小的，若它是本原的（即对 $b,b'\in\mathscr{B}$，$b|b'$ 蕴含 $b=b'$）且其特征函数 $\eta$ 是托普利茨序列（即对每个 $n\in\mathbb{N}$ 存在 $s_n$ 使得 $\eta$ 在 $n+s_n\mathbb{Z}$ 上为常数）。对每个 $\mathscr{B}$ 关联一个对应的 taut 集 $\mathscr{B}'$（由关联的 Mirsky 测度一致确定的 taut 集中唯一）和极小集 $\mathscr{B}^*$（由 $\mathcal{M}_{\mathscr{B}^*}$ 上出现的每个构型也出现在 $\mathcal{M}_\mathscr{B}$ 上这一条件在极小集中唯一确定）。Besicovitch [2] 给出了一个 $\mathscr{B}$ 的例子，其倍数集不具有自然密度。已证明 [7, 引理 4.18] 若 $\mathcal{M}_{\mathscr{B}'}$ 具有自然密度，则 $\mathcal{M}_\mathscr{B}$ 也具有自然密度。在本文中我们证明这是唯一的障碍：每个构型 $ijk\in\{0,1\}^3$（其中 $ij\neq 01$），编码了三元组 $\mathcal{M}_\mathscr{B},\mathcal{M}_{\mathscr{B}'},\mathcal{M}_{\mathscr{B}^*}$ 的自然密度存在性信息，都可以出现。此外，我们证明 $\mathcal{M}_\mathscr{B}$ 和 $\mathcal{M}_{\mathscr{B}'}$ 可以在一个正上密度集上不同。