研究自由群中子集密度的语言理论方法

在本文中，我们使用语言的相对密度来研究非交换自由群子集的密度。我们首先证明了关于语言$L_1$相对于包含$L_1$的另一语言$L_2$的密度的一些基本性质。然后，我们专注于$L_2$是字母表上自由约化词的语言的情况，并证明了该语言的无限猴子定理的类似物。该结果作为关于有限型不可约子移位的一个更广泛定理的推论而获得，允许对具有正密度的有理子集进行语言理论刻画。作为推论，我们获得了一个语言理论证明，即非交换自由群中元素的自同构轨道具有自然密度零，这推广了Burillo和Ventura关于自由群中本原元素密度的结果。然后，我们描述了具有正密度的自由群的有理子集，并深入探讨了有限生成子群的情况。我们证明，如果有理子集是一个子群，那么它具有正密度当且仅当它具有有限指数，并刻画了那些存在收敛性的子群。在由于奇偶性约束导致收敛失败的情况下，我们证明该子集的密度总是表现出弱收敛，并且其上下确界密度的平均值收敛到期望值。