$\mathscr{B}$-free 集与动力学

设 $B\subset \mathbb{N}$，且设 $\eta\in \{0,1\}^\mathbb{Z}$ 为 B-free 数集合 $F_B:=\mathbb{Z}\setminus\bigcup_{b}b\mathbb{Z}$ 的特征函数。考虑 $(S,X_\eta)$，其中 $X_\eta$ 是 $\eta$ 在左移位 S 作用下的轨道闭包。当 $B=\{p^2 : p\in P\}$ 时，$(S,X_\eta)$ 由 Sarnak 研究过。该情形及一些推广，包括 B 为无穷、互素且 $\sum_{b}1/b<\infty$ 的情形 (*)，已被多位作者讨论过。对于一般的 B，与 (*) 相反，我们可能有 $X_\eta\subsetneq X_B:=\{x\in \{0,1\}^\mathbb{Z} : |\text{supp }x\bmod b|\leq b-1 \forall_b\}$。此外，$X_\eta$ 可能不是遗传的（遗传性意味着如果 $x\in X$ 且 $y\leq x$ 逐坐标成立，则 $y\in X$）。我们证明 $\eta$ 对于自然测度 $\nu_\eta$ 是拟通用的。我们通过首先证明 $X_\eta$ 具有唯一的极小（Toeplitz）子系统来解决邻近性问题。此外，B-free 系统是邻近的当且仅当 B 包含一个无穷互素集。当对于每个 b 有 $\delta(F_B)<\delta(F_{B\setminus \{b\} })$ 时，B 是紧的。我们用 $\nu_\eta$ 的支撑给出了紧 B 的刻画。此外，对于任意 B，存在一个紧 B' 使得 $\nu_\eta=\nu_{\eta'}$。对于紧集 B,B'，我们有 B=B' 当且仅当 $X_B=X_{B'}$。对于每个 B，存在一个紧 B' 使得 $\tilde{X}_{\eta'}\subset \tilde{X}_\eta$ 且 $(S,\tilde{X}_\eta)$ 的所有不变测度都存在于 $\tilde{X}_{\eta'}$ 上。证明了 $(S,\tilde{X}_\eta)$ 对所有 B 都是内禀遍历的。我们给出了 $(S,\tilde{X}_\eta)$ 所有不变测度的描述。$(S,\tilde{X}_\eta)$ 和 $(S,X_B)$ 的拓扑熵均等于 $\overline{d}(F_B)$。我们证明了对于紧 B-free 系统的一个子类，邻近性与遗传性相同。最后，我们给出了数论中关于连续 B-free 数之间间隙的应用。我们将结果应用于过剩数集合。