数域中的 $\mathfrak{B}$-free 整数与动力学

2010年，Sarnak开启了对由Möbius函数平方（无平方因子整数的特征函数）所决定系统的动力学研究。我们在数域中 $\mathfrak{B}$-free 整数的更一般背景下处理他的纲领，该背景由Baake和Huck在5年后提出。此设定涵盖了经典的无平方因子情形及其推广。给定数域 $K$，设 $\mathfrak{B}$ 为其整数环 $\mathcal{O}_K$ 中一族两两互素的理想，满足 $\sum_{\mathfrak{b}\in\mathfrak{B}}1/|\mathcal{O}_K / \mathfrak{b}|<\infty$。我们研究由 $\mathcal{O}_K$ 中 $\mathfrak{B}$-free 整数集合 $\mathcal{F}_\mathfrak{B}=\mathcal{O}_K\setminus \bigcup_{\mathfrak{b}\in\mathfrak{B}}\mathfrak{b}$ 所决定的动力学系统。我们证明 $\mathcal{F}_\mathfrak{B}$ 的特征函数 $\mathbb{1}_{\mathcal{F}_\mathfrak{B}}$ 沿自然Følner序列对 $\{0,1\}^{\mathcal{O}_K}$ 上的一个在多维平移下不变的概率测度是通用的。相应的测度论动力学系统被证明同构于紧Abel群上的遍历旋转。特别地，其Kolmogorov熵为零。此外，我们描述了 $\mathcal{F}_\mathfrak{B}$ 中出现的“模式”并计算了 $\mathbb{1}_{\mathcal{F}_\mathfrak{B}}$ 轨道闭包的拓扑熵。最后，我们证明该拓扑动力学系统与紧Abel群上的遍历旋转具有非平凡的拓扑joining。