与默比乌斯函数不相关的近乎满熵子移位

我们证明，如果 $y=(y_n)_{n\ge 1}$ 是一个有界序列，且沿每个无限等差数列的平均值为零，那么对于任意 $N\ge 2$，存在基于 $N$ 个符号的（单边或双边）子移位 $\Sigma$，其熵任意接近 $\log N$，且与 $y$ 不相关。特别地，对于 $y=\mu$ 为默比乌斯函数，我们得到如上所述的子移位，满足 Sarnak 猜想的断言。Sarnak 的综述 \cite{sarnak} 中声称存在与默比乌斯函数不相关的正熵系统（并归于 Bourgain），然而据我们所知，此前从未发表过任何例子。我们填补了这一空白，并且顺便表明这与所考虑序列的更高级代数性质（例如乘性）无关。