对数平均 Sarnak 猜想中可实现的任意慢衰减

2017 年，Tao 提出了对 Sarnak 莫布尔不相容性猜想的一个变体，采用对数平均：对于任意零熵动力系统 $(X,T)$，$\frac{1}{\log N} \sum_{n=1} ^N \frac{f(T^n x) \mu (n)}{n}= o(1)$ 对每个 $f\in \mathcal{C}(X)$ 和每个 $x\in X$ 成立。我们构造示例表明，这一 $o(1)$ 可以以任意慢的速度趋于零。尽管如此，我们的所有示例都满足该猜想。