正特征下$b$-函数的理论

我们提出正特征下$b$-函数（或Bernstein-Sato多项式）的一个理论。设$f$为完美域$k$（特征$p>0$）上非常数多项式。其$b$-函数$b_f$定义为$\mathbb{Z}_p$上连续$k$-值函数代数的一个理想。因此$b$-函数的零轨迹自然被解释为$\mathbb{Z}_p$的一个子集，我们称之为$b_f$的根集。我们证明$b_f$具有有限多个根且它们为负有理数。我们的构造建立在Mustață的早期工作之上，并以$D$-模表述，其中$D$为Grothendieck微分算子环。我们利用Frobenius获得$b_f$的有限性性质，并将其与$f$的检验理想相关联。