关于 $\mathscr{B}$-自由系统不变测度的再探

对于 $\mathscr{B} \subseteq \mathbb{N}$，$\mathscr{B}$-自由子移位 $X_{\eta}$ 是 $\mathscr{B}$-自由整数集合特征函数的轨道闭包。我们证明，许多先前仅知对 $X_{\eta}$ 的遗传闭包成立的关于不变测度与熵的结果，对 $X_{\eta}$ 本身也有类似结论。特别地，我们肯定地解决了 Keller 关于此类测度描述的一个猜想（[Keller, G. Generalized heredity in $\mathcal B$-free systems. Stoch. Dyn. 21, 3 (2021), Paper No. 2140008]）。我们工作的一个核心假设是 $\eta^{*}$（生成 $X_{\eta}$ 唯一极小分支的 Toeplitz 序列）是正则的。由此我们得到自然周期逼近，并在证明中频繁用以从上下两方面界定 $X_{\eta}$ 中的元素。