自由永续方程 I: 存在性、从从属与尾部渐近分析

我们研究自由等价于经典仿射固定点（或永续）方程 $$\mathbb{X} \stackrel{d}{=} \mathbb{A}^{1/2}\mathbb{X}\,\mathbb{A}^{1/2} + \mathbb{B},$$ 其中 $\mathbb{X}$ 假设与配对 $(\mathbb{A},\mathbb{B})$ 为 $*$-free, 且 $\mathbb{A}\ge 0$ 且 $\mathbb{B}=\mathbb{B}^*$.我们的分析涵盖了两个案例: 一个是次临界情形, 即 $\tau(\mathbb{A})<1$;另一个是临界情形 $\tau(\mathbb{A})=1$, 在后者情况下, 解 $\mathbb{X}$ 必然无界.当 $\tau(\mathbb{A})=1$ 时, 我们证明定义 $\mathbb{X}$ 的级数在几乎均匀双边收敛（在附加尾部假设下几乎均匀收敛），而永续方程即使在 $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 的所有矩都存在时也不存在更高阶矩.我们的ethods依赖于对自由乘积下矩渐近行为的详细研究, 这揭示了其在经典情形下的显著不同于行为.通过运用于非交换随机变量的从属技术, 我们推导出 $\mathbb{X}$ 分布尾部在单侧和对称情形下的精确渐近估计.有趣的是, 在临界情形下, 自由永续方程 exhibits 类似于著名 Kesten 定理所观察到的现象的幂律尾部行为.