一般情形下二元偏正态的尾渐近性

本文是 Fung 和 Seneta (2016) 的后续与推广工作,其主要结果给出了当 $\bf{X} \sim SN_2(\boldsymbol{\alpha}, R)$ 且 $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$ 时,即等偏情形下的二元偏正态分布中,$\lambda_L(u) = P(X_1 \leq F_1^{-1}(u) | X_2 \leq F_2^{-1}(u))$ 在 $u \to 0^{+}$ 时的渐近行为,其中 $R$ 为相关矩阵,其非对角元素为 $\rho$,$F_i(x), i=1,2$ 为 $\textbf{X}$ 的边际累积分布函数。Beranger 等人 (2017) 的一篇论文阐述了上尾版本,其不含有约束 $\alpha_1=\alpha_2= \alpha$ 但特别要求约束 $0 <\rho <1$。其附录 A.3 中的证明非常简略。当转换到 Fung 和 Seneta (2016) 的下尾设定时,我们发现当 $\alpha_1=\alpha_2= \alpha$ 时,正则变函数渐近表达式中 $u$ 的指数确实一致,但缓慢变分量(其渐近形式恒为 $const (-\log u)^{\tau}$)并非渐近等价。我们的通用方法涵盖了 $-1 <\rho < 0$ 的情形,并覆盖了所有可能性。