平面上Ahlfors正则集的投影

本文包含关于平面上Ahlfors正则集的以下$\\delta$ -离散化投影定理。对于所有$C, \\epsilon > 0$和$s \\in [0,1]$，存在$\\kappa > 0$使得当$\\delta > 0$足够小时以下情况成立。让$\\nu$是$\\mathbb{S}^{1}$上的一个Borel概率测度，满足$\\nu(B(x,r)) \\leq Cr^{\\epsilon}$对所有$x \\in \\mathbb{S}^{1}$和$r > 0$成立。让$K \\subset B(1) \\subset \\mathbb{R}^{2}$是常数最多为$C$的Ahlfors $s$ -正则集。然后，存在一个向量$\\theta \\in \\mathrm{sp t}\\ \\nu$使得$$|\\pi_{\\theta}(F)|_{\\delta} \\geq \\delta^{\\epsilon - s}$$对所有$F \\subset K$且$|F|_{\\delta} \\geq \\delta^{\\kappa - s}$成立。这里$\\pi_{\\theta}(z) = \\theta \\cdot z$对于$z \\in \\mathbb{R}^{2}$。