Weyl和的扰动

记 $f_k({\boldsymbol \alpha};X)=\sum_{x\le X}e(\alpha_1x+\ldots +\alpha_kx^k)$ $(k\ge 3)$。我们证明存在一族满测集 ${\mathfrak B}\subseteq [0,1)^{k-2}$，使得只要 $(\alpha_2,\ldots ,\alpha_{k-1})\in {\mathfrak B}$ 且 $X$ 足够大，就有 $$\sup_{(\alpha_1,\alpha_k)\in [0,1)^2}|f_k({\boldsymbol \alpha};X)|\le X^{1/2+4/(2k-1)}.$$ 对于 $k\ge 5$，这改进了 Flaminio 与 Forni 的工作，其中对 $\alpha_k$ 施加了丢番图条件，且 $X$ 的指数为 $1-2/(3k(k-1))$。