平面集与曲线之和的内部

近来，两个平面集的算术和的研究备受关注。我们专注于理解当 $\Gamma$ 是一条分段 $\mathcal{C}^2$ 曲线且 $A\subset \mathbb{R}^2$ 时的内部 $\left(A+\Gamma\right)^{\circ}$。首先，我们给出一个非常大（满测度、稠密、$G_\delta$）的集合 $A$ 的例子，使得 $\left(A+S^1\right)^{\circ}=\emptyset$，其中 $S^1$ 表示单位圆。这表明仅仅 $A$ 的大小并不能保证 $(A+S^1)^{\circ }\ne\emptyset$。然而，如果我们假设 $A$ 是两类合理大集合的一种广义积，那么只要 $\Gamma$ 具有非零曲率，就有 $\left(A+\Gamma\right)^{\circ}\ne\emptyset$。作为我们方法的副产品，我们证明了由 $C:=C_{\gamma}\times C_{\gamma}$（$\gamma \geq \frac{1}{3}$）在 $C$ 的任意点钉住的距离集具有非空内部，其中 $C_{\gamma}$（见(1.1)）是中间 $1-2\gamma$ 康托集（包括通常的中间三分之一康托集 $C_{1/3}$）。我们对中间三分之一康托集的证明需要一种单独的方法。我们还证明了 $C+S^1$ 具有非空内部。