平面中非穿刺曲线的扫掠排列
计算几何
2026-02-19 v3
摘要
令Γ为平面中若尔当曲线（即平面中的简单闭曲线）的一个排列。对于任意曲线γ∈Γ，我们用γ̃表示γ所围成的有界区域。若对于任意两条曲线α, β∈Γ，α̃ \ β̃是连通的，则称Γ是非穿刺的。非穿刺曲线排列推广了2-相交曲线集，其中每对曲线最多相交于两点。Snoeyink和Hershberger（“曲线的扫掠排列”，SoCG '89）证明，若给定一个2-相交曲线排列Γ和一条扫掠曲线γ∈Γ，则γ可以扫掠该排列，同时始终保持Γ中曲线的2-相交性质。我们将Snoeyink和Hershberger的结果推广到非穿刺排列的情形。给定一个非穿刺曲线排列Γ、一条扫掠曲线γ∈Γ以及γ̃内的一点P，我们证明可以连续地将γ收缩到P，使得在整个过程中，排列保持非穿刺性（除了在有限个时间点上γ穿过其他曲线），且P始终位于γ̃内。我们证明，若P位于γ̃外，且我们希望向外扫掠γ使得P位于γ̃外并保持排列非穿刺，则我们的论证可以修改。作为第二个贡献，我们给出了Snoeyink和Hershberger结果的另一种证明，并将我们的结果应用于若干组合与算法问题，包括涉及点和非穿刺区域的多重点集问题。
引用
@article{arxiv.2403.16474,
title = {Sweeping Arrangements of Non-Piercing Curves in Plane},
author = {Suryendu Dalal and Rahul Gangopadhyay and Rajiv Raman and Saurabh Ray},
journal= {arXiv preprint arXiv:2403.16474},
year = {2026}
}
备注
Revised version with typos and some statements and proofs fixed for clarity. Figures also updated for better readability