具有公共折痕与折痕模式的弯曲折叠

考虑平面 $\boldsymbol R^2$ 中区域 $D$ 内的一条曲线 $\Gamma$。将 $D$ 视为一张纸，可在欧几里得空间 $\boldsymbol R^3$ 中制作一个弯曲折叠 $P$。$P$ 作为空间曲线的奇异集 $C$ 称为 $P$ 的折痕，而初始给定的平面曲线 $\Gamma$ 称为 $P$ 的折痕模式。本文中我们证明，一般地，给定由折痕与折痕模式组成的一对对象，存在四个互不全等的不同的弯曲折叠。其中两种可能性已知，但似乎另外两种可能性（即总计四种可能性）在此首次给出。