奇异性构型及一般度量空间中的 Plateau-Douglas 问题

假设给定 $\mathbb{R}^n$ 中一组有限的不相交可求长 Jordan 曲线构型 $\Gamma$。Plateau-Douglas 问题询问：在所有亏格至多 $p$ 且张成 $\Gamma$ 的紧致曲面中，是否存在面积极小者。尽管该问题的解已知，但经典方法在允许曲线可能不相交或自相交的奇异性构型 $\Gamma$ 时失效。我们的主要结果解决了此类潜在奇异性构型的 Plateau-Douglas 问题。此外，我们的证明不仅在 $\mathbb{R}^n$ 中成立，在一般真度量空间中也成立。因此我们也能推广 J"urgen Jost 以及第二作者与 Stefan Wenger 先前针对正则构型已知的存在性结果。特别地，对于一般完备黎曼流形中不相交 Jordan 曲线构型，存在性是新的。固定亏格 $p$ 且边界给定构型 $\Gamma$ 的极小曲面未必总存在，即便在最正则的设置中亦然。关于此问题，我们也将针对奇异性构型通过满足内聚与黏附条件的极小序列的方法推广到度量空间的情境。