Plateau 问题解的存在性与肥皂膜正则性

Plateau 肥皂膜问题旨在寻找跨越给定边界的面积最小曲面。我们从 $\R^n$ 中的一个紧致可定向 $(n-2)$ 维子流形 $M$ 开始。如果 $M$ 是连通的，我们称紧致集 $X$“跨越”$M$，若 $X$ 与每一个与 $M$ 的环绕数为 1 的 Jordan 曲线相交。想象一个跨越金属丝环的肥皂膜。使用 $(n-1)$ 维 Hausdorff 球面测度作为 $\R^n$ 中紧致集 $X$ 大小的度量，我们证明了存在一个跨越 $M$ 的最小紧致集 $X_0$。我们还表明，$X_0$ 几乎处处是一个实解析的 $(n-1)$ 维极小子流形，并且如果 $n = 3$，则 $X_0$ 具有 Plateau 所预言的肥皂膜结构。我们提供了关于极小化子 $X_0$ 的更多细节。主要地，$X_0$ 是流 $S_0$ 的支集，而 $M$ 是 $S_0$ 的代数边界的支集。我们还讨论了 $M$ 的余维数 $> 2$ 的更一般情况。