$\mathbb{R}^2$ 上一类 Moran 测度的谱性

我们研究了由扩张矩阵序列 $\{M_n\}\subset GL(2,\mathbb{Z})$ 和数字集 $\{D_n\}\subset\mathbb{Z}^2$ 生成的平面 Moran 测度 $\mu_{\{M_n\},\{D_n\}}$ 的谱性质，其中每个数字集具有如下形式：$$D_n = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \alpha_{n_1} \\ \alpha_{n_2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \beta_{n_1} \\ \beta_{n_2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\alpha_{n_1}-\beta_{n_1} \\ -\alpha_{n_2}-\beta_{n_2} \end{pmatrix} \right\}$$ 满足 $\alpha_{n_1}\beta_{n_2}-\alpha_{n_2}\beta_{n_1} \ne 0 \pmod{2}$。在假设对所有 $n\geq 1$ 均有 $|\det(M_n)| > 4$、$\sup_{n\geq 1}\|M_n^{-1}\| < 1$ 且 $\{D_n\}$ 为有限集的条件下，我们确立了以下刻画：$$\mu_{\{M_n\},\{D_n\}} \text{ 是谱测度} \Longleftrightarrow M_n \in GL(2,2\mathbb{Z}) \text{ 对所有 } n\geq 2。$$ 此外，对于临界情形 $|\det(M_n)| = 4$，我们通过对数字集的组合分析，为一大类 Moran 测度导出了完整的谱判据。这些结果将当前对自仿射谱测度的理解扩展到了 Moran 型构造。