广义 Sierpinski 型自仿射测度的谱性

对于扩张整数矩阵 $M\in M_2(\mathbb{Z})$ 和整数数字集 $D=\{(0,0)^t,(\alpha_1,\alpha_2)^t,(\beta_1,\beta_2)^t\}$（其中 $\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1\neq0$），令 $\mu_{M,D}$ 为由 $\mu_{M,D}(\cdot)=\frac{1}{3}\sum_{d\in D}\mu_{M,D}(M(\cdot)-d)$ 定义的 Sierpinski 型自仿射测度。在 [5.36] 中，作者分别在 $\det(M)\notin 3\mathbb{Z}$ 或 $\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1\notin 3\mathbb{Z}$ 的情况下研究了测度 $\mu_{M,D}$ 的谱性质。在本文中，我们考虑剩余的情形，即 $\det(M)\in 3\mathbb{Z}$ 且 $\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1\in 3\mathbb{Z}$，并给出了 $\mu_{M,D}$ 成为谱测度的充分必要条件。这彻底解决了 Sierpinski 型自仿射测度 $\mu_{M,D}$ 的谱性问题。