使用 Lipschitz 函数捕捉度量值映射的跳跃

根据 V. Bakhtin、R. Oleinik 和第二位作者的最新结果，给定度量空间 $\mathcal{X}$，连续映射 $\gamma\colon [a,b] \to \mathcal{X}$ 当且仅当 $f \circ \gamma$ 对每个 Lipschitz 函数 $f\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}$ 均为有界变差函数时，$\gamma$ 才为有界变差映射。本文中我们指出，连续性假设至关重要：对于许多有趣的度量空间例子，在 $\gamma$ 连续性假设的情况下不存在该表征的类比。有趣的例子包括 $\ell_2$、无限度量树以及 Laakso 类型空间。然而，对于ultra metric 空间，该表征在无任何连续性假设的情况下仍然成立。