变阶次 Sobolev 空间到 $L^{q(x)}(\Omega)$ 的紧嵌入及其在可变阶次、可变临界指数的 Choquard 方程中的应用

本文证明了从变阶次 Sobolev 空间 $W^{s(x,y),p(x,y)}_0 (\Omega)$ 到具备临界指数 $q(x)$ 的 Nakano 空间 $L^{q(x)}(\Omega)$ 的紧嵌入。值得注意的是，即使 $q(x)$ 达到临界 Sobolev 指数 $p_s^*(x)$，该嵌入仍可紧致。作为应用，我们在适当边界条件下求解可变上临界指数的 Choquard 方程：$$(-\Delta)_{p(\cdot,\cdot)}^{s(\cdot,\cdot)}u+|u|^{p(x,x)-2}u=\left(\int_{\Omega}\frac{|u(y)|^{r(y)}}{|x-y|^{\frac{\alpha(x)+\alpha(y)}{2}}}dy\right) |u(x)|^{r(x)-2}u(x)\quad\text{在 $\Omega$ 中}$$