分解空间到 Sobolev 与 BV 空间的嵌入

在本文中，我们研究分解空间$\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y\right)$到给定Sobolev空间$W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$的嵌入是否存在。作为特例，这包括(齐次和非齐次)Besov空间、 ($\alpha$)-调制空间、剪切波光滑空间以及一大类小波协轨道空间(特别是剪切波型协轨道空间)到Sobolev空间的嵌入。精确地，我们将展示在覆盖$\mathcal{Q}=\left(Q_{i}\right)_{i\in I}$的极温和假设下，只要$p\leq q$且$Y\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q\right)}}^{q^{\triangledown}}\left(I\right)$成立，就有$\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y\right)\hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$。这里$q^{\triangledown}=\min\left\{ q,q'\right\}$，权重$u^{\left(k,p,q\right)}$可仅基于覆盖$\mathcal{Q}$和参数$k,p,q$轻松计算。反之，嵌入存在的必要条件是$p\leq q$且$Y\cap\ell_{0}\left(I\right)\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q\right)}}^{q}\left(I\right)$成立，其中$\ell_{0}\left(I\right)$表示$I$上有限支撑序列的空间。总之，对于范围$q \in (0,2]\cup\{\infty\}$，我们根据易于验证的准则获得了嵌入存在的完整刻画。我们也能完全刻画分解空间到BV空间的嵌入。