具有非平凡幂权重的加权索伯列夫空间的特殊嵌入

在先前的工作中，作者刻画了实数 a, b, c 和 1 ≤ p, q, r < ∞，使得加权索伯列夫空间 W_{a,b}^{(q,p)}(R^N\{0}) := {u ∈ L_loc^1(R^N\{0}) : |x|^{a/q} u ∈ L^q(R^N), |x|^{b/p} ∇u ∈ (L^p(R^N))^N} 连续嵌入到 L^r(R^N; |x|^c dx) := {u ∈ L_loc^1(R^N\{0}) : |x|^{c/r} u ∈ L^r(R^N)}。本文讨论 W_{a,b}^{(∞, p)}(R^N\{0}) := {u ∈ L_loc^1(R^N\{0}) : |x|^a u ∈ L^∞(R^N), |x|^{b/p} ∇u ∈ (L^p(R^N))^N} 的嵌入问题，除非 a=0，该空间并非由先前 W_{a,b}^{(q,p)}(R^N\{0}) 定义中形式地代入 q=∞ 所得的空间。相应的嵌入定理识别出所有实数 a, b, c 和 1 ≤ p, r < ∞，使得 W_{a,b}^{(∞, p)}(R^N\{0}) 连续嵌入到 L^r(R^N; |x|^c dx)。一个显著特征是，此类嵌入仅在 a ≠ 0 时存在，且特别是在无权重的设定中没有类比。本文还证明，这些嵌入总是由乘法范数不等式而非仅仅是加法范数不等式所解释。这些不等式是 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的自然推广，后者在其已知形式中仅限于 C_0^∞(R^N) 中的函数，且不包含上确界范数。