弱可微权重的加权索伯列夫空间的唯一性

我们证明了弱可微权重 $w$（与其倒数一起满足某些局部可积性条件）具有唯一的关联一阶 $p$-索伯列夫空间，即 $$H^{1,p}(\mathbb{R}^d,w\,\d x)=V^{1,p}(\mathbb{R}^d,w\,\d x)=W^{1,p}(\mathbb{R}^d,w\,\d x),$$ 其中 $d\in\N$ 且 $p\in [1,\infty)$。如果 $w$ 具有属于 $L^q_{\text{loc}}(w\,\d x;\R^d)$（其中 $q=p/(p-1)$）的（弱）对数梯度 $\nabla w/w$，我们提出了一种基于涉及 $\nabla w/w$ 的分部积分公式的加权 $p$-索伯列夫空间的替代定义。我们证明了形式为 $\exp(-\beta |\cdot|^q-W-V)$ 的权重是 $p$-容许的，特别是满足 Poincar\'e 不等式，其中 $\beta\in (0,\infty)$，$W$ 和 $V$ 为凸函数且有下界，使得 $|\nabla W|$ 满足（依赖于 $\beta$ 和 $q$ 的）增长条件，且 $V$ 有界。我们将唯一性结果应用于此类权重。同时也讨论了相关的非线性退化演化方程。