流形间的内蕴弱导数与 Sobolev 空间

我们定义了从流形 $M$ 到流形 $N$ 的共局部弱可微映射的概念。如果 $p \ge 1$ 且 $M$ 和 $N$ 赋予了 Riemann 度量，这使我们能够内蕴地定义齐次 Sobolev 空间 $\dot{W}^{1, p} (M, N)$。这个新定义等价于通过嵌入 Euclidean 空间的定义，也等价于映射到度量空间的 Sobolev 映射的定义。共局部弱导数是一种近似导数。共局部弱可微性在适当的弱收敛下是稳定的。Sobolev 空间可以赋予各种内蕴距离，这些距离诱导相同的拓扑并使该空间完备。