来自有限指标子因子的弱黎曼流形

设 $N\subset M$ 是 II$_1$ 因子的有限 Jones 指标包含，并用 $U_N\subset U_M$ 表示它们的酉群。本文研究了齐性空间 $U_M/U_N$，它是一个（无限维）可微流形，微分同胚于该包含的 Jones 投影 $p$ 的轨道 $${\cal O}(p) =\{u p u^*: u\in U_M\}$$。我们通过每个切空间上的迹，赋予 ${\cal O}(p)$ 一个黎曼度量。这些是预希尔伯特空间（切空间不完备），因此 ${\cal O}(p)$ 是一个弱黎曼流形。我们证明了 ${\cal O}(p)$ 具有某些类似于经典希尔伯特-黎曼流形的性质。其中包括：测地距离的度量完备性、Levi-Civita 联络的测地线作为最小曲线的唯一性，以及关于最小测地线存在性的部分结果。例如，在 ${\cal O}(p)$ 的每个点 $p_1$ 周围，存在一个 $M$ 通常范数下的球 $\{q\in {\cal O}(p):\|q-p_1\|<r\}$（具有均匀半径 $r$），使得球内的任何点 $p_2$ 都可以通过一条唯一的测地线与 $p_1$ 相连，该测地线比位于该球内的任何其他分段光滑曲线都短。我们还给出了子流形包含 ${\cal O}(p)\subset {\cal P}(M_1)$ 退化方向的内在（代数）刻画，其中最后一个集合表示由 $M$ 和 $p$ 生成的冯·诺依曼代数的格拉斯曼流形。