佐藤格拉斯曼流形中的霍普夫-里诺定理

设 $U_2({\cal H})$ 是希尔伯特空间 ${\cal H}$ 中酉算子的巴拿赫-李群，这些算子是恒等算子1的希尔伯特-施密特扰动。本文研究了 ${\cal H}$ 中无限投影 $p$ 的酉轨道 $$\{upu^*: u\in U_2({\cal H})\}$$ 的几何性质。该轨道对应于希尔伯特-施密特受限格拉斯曼流形 $Gr_{res}(p)$（文献中也称为佐藤格拉斯曼流形）中 $p$ 的连通分支，该流形对应于极化 ${\cal H}=p({\cal H})\oplus p({\cal H})^\perp$。已知 $Gr_{res}(p)$ 的分支是可微流形。这里我们给出了一个简单证明，证明 $Gr_{res}^0(p)$ 是仿射希尔伯特空间 $p+{\cal B}_2({\cal H})$ 的光滑子流形，其中 ${\cal B}_2({\cal H})$ 表示 ${\cal H}$ 上的希尔伯特-施密特算子空间。我们证明了自然联络的测地线，其形式为 $\gamma(t)=e^{tz}pe^{-tz}$，其中 $z$ 是 ${\cal B}_2({\cal H})$ 中 $p$-余对角反厄米元素，当 $\|z\|\le \pi/2$ 时具有最小长度。注意该条件是用通常的算子范数给出的，这一事实意味着存在任意长度的最小测地线。我们还证明了任意两点 $p_1,p_2\in Gr_{res}^0(p)$ 可由一条最小测地线连接。此外，如果 $\|p_1-p_2\|<1$，则该最小测地线是唯一的。最后，我们将2-范数替换为 $k$-Schatten 范数（$k>2$），并证明测地线在这些范数下也是最小的，直到 $t$ 的一个临界值，该临界值也用通常的算子范数估计。在此过程中，对于群 $U_2({\cal H})$ 也获得了 $k$-范数下的最小性结果。