H^1_0 上的 L^2 等距群

设 U 为 R^n 的开子集。令 L^2 = L^2(U, dx) 和 H^1_0 = H^1_0(U) 为复值函数的标准勒贝格空间和索伯列夫空间。本文旨在研究 H^1_0 上保持 L^2 内积的可逆算子群 G。当 U 有界且边界 ∂U 光滑时，该群充当非齐次亥姆霍兹方程 u - Δu = f, u|_{∂U} = 0 的 H^1_0 解的缠绕算子。我们证明 G 是一个实巴拿赫-李群，其李代数为（i 乘以）可对称化算子空间。我们通过例子讨论属于 G 的算子的谱。特别地，我们给出 G 中一个算子其谱不包含在单位圆内的例子。我们还研究 G 的单参数子群，并考虑 G 中的极小长度曲线。我们引入子群 G_p := G ∩ (I - B_p(H^1_0))，其中 B_p(H^1_0) 是 H^1_0 上算子的沙滕理想。一个不变的（弱）芬斯勒度量由 L^2 上算子的沙滕理想的 p-范数定义。我们证明 G_p 中的任意一对算子 g_1, g_2 可由一条形如 a(t) = g_1 e^{itX} 的极小曲线连接，其中 X 是 B_p(H^1_0) 中的可对称化算子。